X-ray繞射基礎原理介紹

1895年十一月，德國物理學家倫琴( W.C.Roentgen )在偶然的機會發現X光。某一天他正在做有關陰極射線的實驗，他用黑紙包好放電管然後通電。此時，他發現附近塗上螢光物質的紙發出模糊的亮光。倫琴用其他東西代替黑紙，調查從放電管出來的不明射線(他把那些射線叫做X光)的透過性。在X光面前，紙張變得非常透明，在隔著一千頁的書本那邊，螢光幕照樣發出亮光。將錫箔或鉛玻璃放在螢光幕前面，會造成影子。將手放在前面看，會在螢光幕上顯出手的骨頭來。由於當時並無法知道此射線是由什麼物質所組成，但是此射線卻可以使密封的底片感光，並使氣體離子化，倫琴於是將此神秘射線命名為X射線( X-ray )。

而X光的特性及繞射現象又繼續在勞厄( Laue )、布拉格父子( W.H. Bragg and W.L. Bragg )等學者的努力下，奠立起重要基礎，不僅成為醫學及工業上重要的檢驗工具，更擔當起結晶學及固態物理學上不可或缺的研究利器。

當帶電粒子在減速的過程中，會釋放出電磁波，而在減速過程中所放出之電磁波具有高能量，其波長在10^-12~10^-8m則稱為X光。因此，當以高電壓加速之電子束撞擊陽極標靶，高速電子受到標靶原子的阻擋急劇停止下來，電子在非彈性碰撞過程中能量損失部分轉變成X光子的能量，此X光稱為連續輻射。此外，當電子束與標靶之原子碰撞時，原子內層電子被打出，外層電子往內遞補，而由高能階轉變成低能階的狀態，能量便藉由X-ray的方式產生，此X光稱為特徵輻射。此時，若撞掉的K層電子由L層的電子遞補而產生的X-ray稱為Kα；若是由M層電子遞補則稱Kβ。 (圖1)。

一般來說，要產生1 Å波長的X光，需要上萬伏特的電壓，因為由下面公式得知，電壓與波長成反比，波長越短電壓較要越大。

( 圖1 )連續光譜與特性光譜 (http://140.134.144.73/laboratory/materials.experiment/06.doc)

X光和晶體為什麼可以作結構分析，主要是利用光遇到適當的阻礙誤會產生繞射( diffraction )這種物理現象。舉例來說，把石頭丟入水池，產生水波碰到牆壁反射回來，但是當牆壁上有一狹縫時，此時若波長（λ）大於狹縫寬度（D）時，波將反彈回來，若波長短於狹縫寬度時則直接穿透，但若波長與狹縫寬度相當時，則會發生繞射，這也是要產生繞射的基本條件（如下表所示）。

λ＞D	反彈
λ＜D	穿透
λ≒D	繞射

在蛋白質晶體中，每一個分子就如同一個柵欄，當X光通過整齊而重複排列的分子時，就會產生繞射現象。進一步，繞射光源彼此間又會形成干涉(圖 2)。因此，我們便可以利用干涉所產生的干涉點來分析分子的排列方式。並且一般分子間原子的距離近似於1Å，恰好接近於X光的波長，所以結晶學家便選用X-ray來當繞射光源。

當光柵數目沿著一度空間增加時，繞射條紋便由帶狀轉為線狀，且數目將越來越多（圖 2）。而當有兩個不同方向的光柵時（光柵為二度空間或三度空間排列時），繞射條紋就會產生Interfusion而形成點（圖 3），而晶體中的原子就如同三度空間光柵。

此外，光柵中原子的排列與繞射出來的點會成為倒數關係。因此光柵中原子的座標以real lattice代表；繞射出來的點以reciprocal lattice代表。也因為此倒數關係我們可以由繞射點來計算實際原子的位置。

如圖4所示，首先由海更斯(Huygens)所提出，由一點所射出的光線在各方向均相同，在任何時間都形成一球型波前(wave-front) ，這波前可被視為一光波源，而從波前的每一點緊接著形成未來波前，如果將波前視為無數個次級光源的位置，這無數個次級光源的所發出的光線互相干涉，接下來產生一個體積增大的球形波前，在新波前每一點的強度均相同，這種光擴展的模型提供了一令人滿意的敘述。

(圖4)球形波前：在任何時間都形成一球型波前(wave-front) ，這波前可被視為一光波源，也就是說波前上的每個點，可被當作二次子波的起始點。(http://planetquest.jpl.nasa.gov/technology/diffraction.html)

我們可看出如果要產生下一個波前，需要整個次級光源所產生的完整波前時，而僅有波前的一部份將沒有相同的效應，因此加一個障礙物(此障礙物可為有孔或狹縫的幕)以限制波前時，將不再產生新的球形波前，而繞射亦可被定義為波前受限制時所得之現象。

Bragg’s Law（布拉格原理）

一般X光的波長約在1埃附近，該長度也正好接近固體內原子與原子間的距離。對於一個結晶的固體，其三度空間排列整齊的結構，正好可被視為一種光柵。光學中的雙狹縫干射的實驗，當一同步光源通過一雙狹縫時，若該雙狹縫的間距非常接近光波的波長時，將會發生干射現象。

產生干射的原因是X光進入晶體後，X光被各層原子反射出來的路徑不一樣，造成了光程差所致。若光柵間的的距離為d，入射光的入射角為θ時，則光程差的距離為2d sinθ（如圖 4所示； BC+BD）。當光成差非波長的整數倍時，即發生毀滅性干射（如圖5B所示）；當光成差為波長的整數倍時，即發生建設性干射（如圖 5B所示）；這也是布拉格原理：nλ = 2d sinθ的由來，只要符合布拉格方程式時，便會出現建設性的干射。

在某些特殊的環境下，許多分子能夠聚集而形成晶體，例如：蛋白質、核酸與鹽類。而在形成晶體的過程中，各個分子會採用相同的方向做堆積，進一步形成三度空間規則堆積的晶體。並且這些分子間多是以非共價鍵相互作用。

如下圖所示，水平與垂直的線將晶體區分為相同的小單元，稱為元室(unit cell)。在每個元室中又可以再區分出非對稱單元。並且在每個unit cell的頂點稱為lattice(圖6)。

在一個晶體中，分子很複雜很難描述，所以要選一個很小的區域去計算，而當小區域了解後整個晶體排列也就知道。但是我們究竟要選擇那個區域，一般來說有兩個準則：體積最小與對稱性最高。當要描述這個分子時，要選一個元室(unit cell)最小及最高的對稱性。下面這圖形是解釋了在X-ray crystallography中，我們不只用直角座標系統，原因是要選擇最高對稱性，因此在此座標系統α、β、γ三個角度都要標示出來。我們習慣上用a、b、c代表x、y、z三軸，ab的夾角為γ，bc的夾角為α，ca的夾角為b。

由於經由X光繞射後，實際光柵原子的排列與繞射點會成倒數關係，因此我們在結晶學中會使用兩的座標系統。

用以描述光柵原子的座標系統，因顧及對偁性而非用直角座標系統。在Real lattice中的三個軸線，分別為a、b、c軸，其所對應的夾角分別為α、β、γ，而A、B、C則代表三個軸所為的面，且a、b、c三軸分別為A、B、C三面的法線。（如圖8所示）

Reciprocal lattice是用來描述繞射圖形的座標系統，以Miller Indices（hkl）來表示，且數值必須為整數，例如：[100]、[010]、[001]，而為什麼都是整數表示？因為只有在Miller indices為整數時，才是屬於建設性干涉，方可被儀器偵測到。（如圖 9所示）

要如何利用繞射技術來分析各種晶體的堆積方式呢？通常不同的晶格將產生不同的繞射圖形，這和繞射光的強度無關。（如圖 10所示）為了將所得的繞射圖形反推得出晶體實際的堆積種類，我們利用數學的「群論」（Group Theory）並將其應用在晶體化學上。簡單來說群論就是根據繞射點位置分佈的情形，將分子在real lattice的堆積狀態加以列出。用群論來探討晶體時會從兩個角度切入，點群（Point Group）以及空間群（Space Group），其分別描述分子內與分子間的對稱性。當我們能夠掌握分子在晶體中分布與排列的情況時，我們便就能夠了解晶體的結構，而這些結構分析的成果則能夠用在奈米科技、光電技術、材料科學等等。其中，鋰電池就是一個很好的例子，鋰電池就是利用內部分子間的的相對分布而製造出來。

自然界中晶體只具有32種點群，也就是只有32類晶體，再延伸出230種空間群。因此就能了解無論組成晶體的物質為何，晶體的種類也只在230種之中做變化。

在點群中描述對稱的元素有四個，分別為旋轉、鏡面、反逆以及旋逆，每個點群是由一個或數個元素組成(2)。圖11表示旋轉的原理。圖中每個圓圈代表一個lattice point，且lattice point中間的距離固定，當以中間的lattice point O當作原點，將此旋轉2π/n，在旋轉時是全部的lattice point跟著旋轉，這時會把這lattice point轉到此，把-T轉到T”，把T’轉到T，此時發現T”到T’的距離和-T到O及O到T的距離是一樣才可重複出現，當晶體以real space旋轉後，lattice point不變，在此時發現在晶體內發現lattice point旋轉會受到下面的限制，T”到T’的距離一定是T到O的整倍數，T’-T”= 2cos(2π/n)=m，這是m表示的意思，這三角函數代進去後發現n這些旋轉才可以得到m的整倍數，n等於2表旋轉180度，所以發現說在三度空間的晶格內可以旋轉的只有1、2、3、4、6，這邊沒有五，也沒有七以上，因此組合起來為下面這張表(The 32 crystallographic point groups)。對應的還有4 bar，即把-4的負號放到4上面，而bar的意思是除了旋轉外還要做投影。所以，若看到4 bar是旋轉90度再做投影，若投影後左手就變右手，蛋白質是左右手不對稱，所以沒有4 bar的對稱性；而2 bar用m代替，因為2bar的意思就是旋轉180度後在做投影，這就與直接做鏡像是一樣的。這些對稱性的組合只有30種，這是晶體在堆積時分子跟分子旋轉的對稱性有這32種。

在晶體內除了旋轉外，在晶體內的symmetry有兩大類，稱為rotational symmetry與translational symmetry。此外，在晶體內也有複合的對稱關係，rotation與glide plane。所謂screw axis就是對稱分子像螺旋一樣，旋轉後再移動，也就是rotation (1,2,3,4,6)和translation的組合；glide plane是投影移動，就是reflection (m, 1 bar…etc.)和translation的組合。在所有symmetry的組合，共可組合出有230個group，這是群論在分類中很好用的，不管分子組成如何，只要堆積成晶體一定是這230種中的一種。

晶體基本堆積方式可以分為簡單堆積、體心堆積、面心堆積。最基本的元室，就是

僅僅

只有八個原子位於八個頂點上，這就是Primitive Cell也稱之為Simple Cell（如圖10A所示）。如果在元室內部中心位址還存在一個原子，就稱為體心（Body-Centered）（如圖 10B所示），若在六個面的中心各有一個原子存在，則是面心（Face-Centered）（如圖 10C所示）。再配合不同的晶體體系（Crystal System），就是現在所使用的14種Bravais lattices了，這部分在後面會有更詳細的解說。

當我們要計算晶體中每一個點在空間中的相對關係時，必須先選定一個座標系，一般最常用的座標系是直角座標系，但在研究晶體時直角座標系不見得是最好。為了計算方便，會根據元室的種類來選擇我們要用的座標系，在這裡所定義出來的座標系總共有七個，分別為三斜（triclinic）、單斜（monoclinic）、斜方（othorhombic）、正方（tetragonal）、三方（trigonal）以及立方（cubic）(5)，其中立方就是屬於直角座標系，每種座標系的訂立是根據XYZ三軸向量a(→)、b(→)、c(→)相等關係以及三夾角α、β、γ，這七個體系的晶胞在對應簡單、體心、面心的特徵就是上述所提到的14種Bravis Lattices（如圖 13所示）。

到此為止，各位對於晶體堆積的推演應該有完整的概念了，整個過程可以簡述如下：

藉由群論我們了解了分子的堆積情形，而這些堆積分子的組成為何，必須藉由x-ray繞射產生的繞射點強度告訴我們可能的分子組成情形。

要了解分子的結構，首先我們回過頭來回憶一下簡單的繞射概念，當光波接觸到物質時，光與物質在哪裡作用？就如我們所知，光在行進時互相不停在交換的電磁場，產生電磁波；而物質，也就是原子及其周圍的電子，因電子帶負電，在光照下會受到光造成的電磁場影響。舉一個簡單的例子，當水波通過狹縫產生繞射波紋，而事實上，當光和物質（原子）作用時，其實是電磁場與物質外圍的電場(即原子外圍的電子雲)互相作用，而不如水波那麼簡單。

產生繞射的方法，除X光外，也可使用電子和中子來產生。根據量子力學的基本概念，我們知道所有的物質都具有粒子性和波動性，舉例來說，電子顯微鏡就是利用電子的波動性來作繞射產生影像，而中子也是以一樣的原理，然而電子與中子都不如x-ray使用方便，所以在做結構分析上，x-ray成為主流。

X光行進所產生電磁波與原子周圍的電子雲作用造成了繞射，隨著入射光角度的增加，繞射強度會逐漸減弱。也就是入射光的角度愈來愈大時，X光與物質作用的強度會愈來愈弱。

原子經X光的作用後產生的繞射強度與其周圍的電子雲有很大的相關性。每個原子周圍的電子雲大小密度及分布不同，其與X光作用產生的繞射強度也跟著改變。

原子周圍的電子分為價層電子與內層電子，價層電子與內層電子對X光的作用有所差異，如下圖所示（圖 14）：

如圖14 b中，以氮原子為例，氮原子的周圍電子有2個內層電子，隨X光入射光sin角度的增加，其作用強度幾乎不太改變；而外層的價層電子一下子就降到很低。根據這個圖形告訴我們：原子周圍的內層的電子數愈多，其經X光照射後產生的繞射的強度就愈強，數據的準確度也相對提高。

蛋白質分子的原子組成，如：碳、氫、氧、氮，這些原子的內層電子都很少，故產生的繞射強度也相對較小，因此實驗需要很大量的分子來作用，才能得到足夠的數據，也因此收集數據的時間需要更長久；然而，對化學分子而言，金屬原子周圍的內層電子非常多，所以能產生很強的繞射光。

為更精準的描述光與物質之間的作用力，不可避免的，我們必須以一些數學公式來表達。分子的結構分析中，原子與光的作用大小取決於 atomic scattering factor。

這個參數為內層電子與價層電子兩個部分繞射強度的總和，當原子的內層電子愈多時，此原子與X光作用所產生的繞射光愈強。繞射點的強度根據組成原子的atomic scattering factor 成非線性的正比關係。因此，分子的組成原子決定了x-ray繞射出來的強度。

原子出現的位置與它是什麼原子並沒有直接的關係，只跟其堆積方式有關；而繞射強度則與原子組成卻有大大的關係。我們可藉由測得繞射強度（也就是atomic scattering factor這個參數）的大小來推測這個是什麼原子。因此，在解分子結構上，atomic scattering factor是不可或缺的數值。

分子在晶體中，除了絕對0 k的狀態下，並非靜止不動的，而是不停的在律動。分子在運動時，其電子雲也會跟著變形，故利用atomic scatterin factor公式演算後所看到的電子雲圖，是電子雲變形後的，而不是靜止時的狀態。因此我們在演算過程中加了修正項q，以修正項q來修正，分析電子雲變形後的繞射強度。

Strcture factor：

單一原子與光的作用強度取決於其電子數目，而一個unit cell中由好多個原子所組成，故描述一個unit cell的X光繞射光強度，是與所有組成原子的exp和成正比關係，但並不是線性關係。

這個和稱為structure factor，用以表示繞射光的強度，但並不是指強度的數值，而是與繞射光強度成正比關係。分子中有很多的繞射點，每一個組成的繞射點強度都與其atomic scattering factor的值有關。

繞射光強度不僅與組成的原子有關係，還與原子在空間中的位置（稱為rj）有關。換言之，繞射光強度告訴我們，要特定的原子組成以及原子位置，才能的到特定繞射光強度。

以儀器分析分子的結構，所得到的是實驗數據，必須將繞射光強度（intensity）的實驗數值轉換成原子的組成及位置資料，才能解分子的結構。解結構時，繞射光的強度有兩種來源，一種由實驗得來的實際數據，而另一種則是根據假設的原子組成及位置所計算出的數據。

我們無法只透過實驗所得的繞射光強度數據，解出一個未知組成的晶體結構，必須要不斷的猜測可能的原子組成與其位置，比對實際的實驗數據，慢慢地找出正確的結構。儀器上所紀錄的intensity值，修正實驗誤差後經數學演算（開根號），得到每一個繞射點的強度（Fo）；根據space group及假設的原子組成與位置，我們可計算出推測的structure factor（Fc）。比對Fo與Fc，可知推測的Fc是否錯誤。

Fourier transform

要解結構必須得到real space的資料，而Fc及Fo都是reciprocal space的數據資料，經由數學公式演算可將reciprocal space光的強度轉換為real space的電子密度（此轉換稱為Fourier transform）。電子密度得到後，我們知道其相對的原子組成，如此結構就解出來了。Fourier transform是利用固定數學演算公式 (如下所示)，由於描述光波時必定要用兩個參數：頻率及振幅，因此描述光波或任何一個週期函數每一次重複的頻率，都是以振幅乘以sin或cos的函數（時間函數）來表示。但是當微分後，sin 及cos函數就消去了，只剩下振幅。那在公式中原子的位置要如何表示呢？

在上述公式中，我們看到原子的位置以向位α值表示。要計算Fc值，必定要知道原子的向位（原子所在的位置），而實驗值微分後只剩下漲幅，得不到任何原子位置（phase）的資料。然而，解結構的目的就是了解原子在大分子中的位置，而實驗數據卻得不到想要的資料；若我們知道了原子的位置，就可計算出α，接著Fc也計算出來，經Fourier transfrom轉換為real space形式後，根據電子密度分布，就可解出結構。反過來說，我們知道了原子的位置，就不需要解結構了！事實上，原子的在實驗值中是得不到的數值，沒有phase就不能做fourier transform，不能轉換成real space就解不出結構了。

要如何猜phase呢？如何知道猜的對不對呢？將Fo及Fc分別作Fourier transform，得到兩組的電子密度數據ρo及ρc。若兩組的結果不符合，有幾種可能原因，第一、space group 選錯了，第二、原子的位置假設錯誤，再回過頭來重新假設原子位置，重複這個同樣的動作直到ρc及ρo符合為止。在化學分子的結構中，因組成原子少，所以可直接確認每一個原子的位置；而蛋白質分子則不然，結構複雜的多，但基本的原理是相同的。計算ρc及ρo的差Δρ(r)，若遠大於0，表示電子密度不夠多；而若遠小於零，則表示電子密度擺太多了，一值重複的修正Fc（即修正原子的位置），直到Δρ(r)趨近於0為止，此時Fc與Fo的電子密度相符合。這個動作即所謂的解結構。

電子密度得到後，仍需做一些細部的修正，以least-squares refinement將Fc與Fo的差值做一次微分，若一次微分等於零，則表示極小值，藉由一次微分等於零找到Fc與Fo最符合的狀況，但這個公式必須經過繁複的演算才能得到答案。

文字方塊: ▲圖 15 原子位置對了，但原子組成錯了所出現的圖形；由曲線觀察，位置雖相同但Fc比Fo大，表示位置對了，但是假設原子的電子比實際上多，表示推測原子的組成是錯誤的。

如下圖（圖15），我們把數學公式以圖形表達，虛線表示Fc所做出來的電子密度分布；實線表示Fo所做出來的電子密度分布，Fo與Fc相減後得到另一條實線曲線，若Fc與Fo不符合時，可看到相減的Δρ曲線離中心點一邊是正值，一邊是負值。校正時，將Fc的電子密度分布曲線向右移，則可得到Δρ曲線中心點兩邊都趨近於零，表示Fc趨近等於Fo，也就是推測的原子位置是正確的。

如右下圖所示（圖16），若原子位置對了，但原子錯了，即出現此圖形，曲線位置相同但Fc比Fo大，表示位置對了，但是假設原子的電子比實際上多，表示推測原子的組成是錯誤的。圖中可看到Δρ曲線在中心點有很大的負值出現，要修正原子的組成，直到Fc符合Fo為止。

解蛋白質的結構要比化學分子來的複雜很多，不但是因為蛋白質分子很大，更因為其組成原子很多，排列較不具對稱性，要推測其排列位置更為困難，然X光繞射解結構的發展是隨著電腦資訊的發達而進步的。1980年代以後，電腦發展突飛猛進，目前利用x-ray繞射的方法已解出多種的蛋白質結構，而不只是簡單的化學分子。

1.由結構可得知分子組成原子的鍵長、鍵角，及各氨基酸之間的空間關係。

2.前人所未知的生物分子的三度空間結構。設計新的抑制物對抗細菌病毒微生物體等或分子功能異常等疾病。

3.探索未知的生化分子結構，這些分子可能具有致癌或抑癌功能，或在生理功能上擔任重要角色。

5.將持續的在基礎生命科學領域方面，驗證重要的生化反應機制及實驗假說，並提供新的詮釋與研究方向。

同步輻射也是電磁波的一份子，為一連續波段的電磁波，涵蓋紅外線、可見光、紫外線及X光等，1947年首次在美國通用電器公司同步加速器上意外地被發現，因此命名為「同步加速器輻射」，又簡稱為「同步輻射」。同步輻射和X光不同之處為X光是用高速電子撞擊金屬靶，內層電子掉出來外層電子跳進去放出的光；同步輻射是用電磁鐵讓電子或帶電粒子，在一個固定的環內持續的做圓週運動，在物理上帶電粒子若做等速圓週運動，能量就會一直累積，累積到一定程度後，可控制電子或質子加速的速度，在切線的方向，動能就會以光的方式釋放出來，所以加速可以控制放出光的強度和頻率，台灣的同步輻射在當初設計，我們可以聽到hard x-ray（波長比較短）和soft x-ray（波長比較長），做繞射的要用hard x-ray，台灣的同步輻射主要設計給soft x-ray，所以台灣的同步輻射做結構分析會有問題。

根據電磁學的理論，帶電粒子的運動速度或方向改變時會放射出電磁波。當電子以接近光速飛行，受到磁場的作用而發生偏轉時，便會因相對論效應沿著偏轉的切線方向，放射出薄片狀的電磁波，這就是「同步輻射光」。同步輻射原理，由注射器產生之電子經由傳輸線進入儲存環，有一個密閉環狀的同步輻射加速器，製造一個電磁場，後面負電前面正電，所以電子會向前衝，當衝到正電交互過來，一直運動到能量夠了，任何粒子在運動時一定會有一個角動量，這個角動量當累積到需要的能量後，電子在環中經過偏轉磁鐵或插件磁鐵會放射出同步輻射光，同步輻射再經過光束線到達實驗站，研究人員便可進行實驗。

同步輻射光源的發展與特色[www.srrc.gov.tw/chi/about/lightsource.html]

二十世紀初，同步加速器是高能物理學家專門用來找尋基本粒子與探索宇宙本質的重要工具。自從同步輻射被發現後，一些物理和化學家們利用高能物理研究的空檔，使用加速器所放出的同步輻射做研究，後人便稱此類與高能物理研究共用的加速器為第一代同步輻射光源。

1970年代，科學家們逐漸體認到同步輻射光源的優異性，於是紛紛開始興建專門為產生同步輻射光的加速器，這就是所謂的第二代同步輻射光源。

1980年代，科學家們提出一個構想，在儲存環中裝入特別的插件磁鐵，例如增頻磁鐵或聚頻磁鐵，藉此使電子由偏轉一次變成多次偏轉，同步輻射的亮度則可提高一千倍以上，這便是第三代同步輻射光源。

目前全世界約有七十座實驗用的同步輻射加速器，其中第三代加速器於1990年後陸續建造完成，而我國同步輻射加速器是在1993年完工啟用，成為少數最先完成的第三代同步輻射研究設施之一。

若以X光為例，同步輻射在這個波段的亮度比傳統X光機還要強百萬倍以上！過去需要幾個月才能完成的實驗，現在只需幾分鐘便能得到結果。以往因實驗光源亮度不夠而無法探測的結構，現在藉由同步輻射，都可分析得一清二楚，也因此於近年內許多新的研究領域得以開發。